钢琴调律中检验音程的使用

吴红江

如同两点确定一条直线，三点确定一个平面，钢琴完美音律中的每一个音都需要由有音程关系的若干音来确定它的实际音高频率。

琴弦振动存在着非谐性

琴弦的横振动是一种复合振动，在整体（ 1/1 ）振动的同时还会分别作 1/2 、 1/3 、 1/4 ……分段振动。

琴弦全长振动与分段振动示意图

谐音列的谐音序数带有如下内在含义：

1 表示弦分几段振动；

2 表示各次谐音相对于基音（第一谐音）频率的倍数；

3 表示各个谐音之间的频率比。

4 表示各个谐音构成的音程之间的频率比。

如果某一乐音的某次谐音与另一乐音的某次谐音的频率相等，则此谐音为这两个乐音的 吻合谐音 。

如果构成某种音程的根、冠两音的吻合谐音的频率出现偏离，则两个声波相互干涉而产生拍 ，其合成波出现周期性的幅值变化。拍的幅值变化会影响人的听觉感受，调律就是要使得谐和音程的拍幅值变化不要过于强烈而使人听觉不适。

钢琴琴弦的材料特性使得它的振动存在着非谐性。简单说就是，钢琴琴弦的刚性使得它的实际振动长度短于理论振动长度，实际音高频率要高于理论音高频率。其示意图如下：

图中，f 0 为弦理想振动长度；f 0 '为受非谐性影响的弦振动的实际长度；f 2 为受非谐性影响的弦的1/2振动（产生2次谐音）的实际长度；f 4 为受非谐性影响的弦的1/4振动（产生4次谐音）的实际长度。示意图直观地显示出随着谐音序数的增加，琴弦的谐音非谐性逐渐增大。

由于钢琴调律是用音程之间的拍频来进行的，其琴弦振动非谐性对其谐音频率的影响就成为调律实践必须考虑的问题。

为什么要使用检验音程

许音先生提出：根据  49A 上行调试的八度音 61A 修正值为 881.01Hz ，而不是理想的 880.00 Hz 。他给出修正公式如下：

即：某次谐音的频率  = 谐音序数×该音基频（由琴弦整体振动产生）× √（ 1+ 谐音序数 平方 × E ）

其中，  E 为琴弦的纵向弹性模量、直径、长度、张力等因素共同决定的常量。

（许音：《正确理解钢琴的音准曲线》，载《钢琴维修调整与钢琴调律》，中国轻工业出版社， 2002年）

不用考虑许音先生的公式从何而来，也不用考虑修正值从何而来，这些并不重要，因为琴弦非谐性振动对应的现实频率值必定存在一个偏离理论频率值的常量关系。我们利用许音先生给出的修正公式，推出能说明调律方法的常量值即可。

在理想的平均律里面，各音的频率值符合根据音程频率比计算出的理论值。现实情况呢？在调律实践中，大三度经常被用作八度扩展的检验音程，现以利用大三度 33F-37A 检验八度 37A-49A 为例，根据许音先生公式及导出的常量值分析如下：（为了方便计算，假设根据《十二平均律音分频率对照表》查得频率值的各音的基频完全等于理论值。）

1 、根据许音公式导出常量 E ：

881.01 Hz =2 × 440 Hz × √（ 1+2  2  × E ）

√（ 1+4E ） =881.01 H z÷（ 2 × 440 Hz ）

1+4E ≈ 1.0012  2

4E ≈ 1.0024 － 1

E=0.0006 ；

2 、大三度音程频率比为 5 ： 4 ，根据《十二平均律音分频率对照表》可知 37A=220.00Hz ， 33F=174.61Hz ，则：

37A 四次谐音的频率修正值≈ 49A 二次谐音的频率修正值 =881.01 Hz

33F 五次谐音的频率修正值

= 5× 174.61H z× √（ 1+5  2  × 0.0006 ）

= 5× 174.61H z×√（ 1+ 0.015 ）

= 5× 174.61H z× 1.0074

≈ 879.51 Hz

则： 33F 五次谐音频率修正值推导 49A 二次谐音频率值

= 879.51 Hz＋7拍（理论拍频值）

=886.51Hz

可知，以利用大三度33F-37A检验八度37A-49A所确定的49A的频率值与利用八度37A-49A确定的49A的频率值不等。若要使大三度33F-37A与大十度33F-49A在听觉上拍频一致（理论上一致），必须要使49A在八度37A-49A与大十度33F-49A（大三度33F-37A）之间做频率折衷。（实践中总能找到大三度与大十度拍频一致的点，从侧面证明了八度“纯点”很宽的说法。）

理论值与频率修正值之间的对比

上述结果表明，由于琴弦振动存在非谐性这一特性，通过某个音程而确定的某音的音高频率对于由该音所构成的其他音程而言并不完美。因为钢琴所使用的十二平均律是方便转调的折衷律，因而任一音的音高频率也要尽可能地适配较多的音程。这就是调律中要使用检验音程的原因。

在八度扩展中使用的检验音程

在八度扩展中常用的检验音程有双八度（包括三八度等）、四度、五度、大三度（包括十度、十七度、二十四度等）。上文已对大三度音程检验对于八度扩展调律的影响作了分析，下面再分析一下四、五度音程检验对于八度扩展调律的影响。

1 、 44E-49A 为四度音程，音程频率比为 4 ： 3 ，根据《十二平均律音分频率对照表》可知 49A=440.00Hz ，  44E=329.63Hz ，则：

49A 三次谐音的频率修正值

= 3×440.00Hz× √（ 1+3  2  × 0.0006 ）

=3×440.00Hz× √ （ 1+0 .005 4 ）

≈ 3×440.00Hz× 1.002 7

≈ 1323.56 Hz

44E 四次谐音的频率修正值

= 4× 329. 63 Hz× √（ 1+4  2  × 0.0006 ）

= 4× 329. 63 Hz× √（ 1+ 0.009 6 ）

≈ 4× 329. 63 Hz× 1.004 8

≈ 1324. 85Hz

四度 44E-49A （修正频率值）拍频值 = 1323.56 Hz- 1324. 85Hz=- 1.29

四度 44E-49A 理论拍频值=440×3- 329. 63×4=1320- 1318.52 = 1.48

二者不但值不同，而且调试方向相反——现实中的上行四度出现了负拍（理论上是正拍）。（有经验的调律师多少都遇到过类似的情况吧？）如果想减轻听觉不适，尽量保持和声色彩，就要相互参照同冠音的（八度和五度）音程进行折衷调试。

2 、 42D-49A 为五度音程，音程频率比为 3 ： 2 ，根据《十二平均律音分频率对照表》可知 42D=293.66Hz ，则：

49A 二次谐音的频率修正值

≈ 2×440.00Hz× √（ 1+2  2  × 0.0006 ）

=881.01 Hz

42D 三次谐音的频率修正值

= 3×293.66 Hz× √（ 1+3  2  × 0.0006 ）

= 3×293.66 Hz× √ （ 1+0 .005 4 ）

≈ 3×293.66 Hz× 1.002 7

≈ 883. 36Hz

五度 42D-49A （修正频率值）拍频值 =881.01 Hz - 883. 36Hz=- 2.35

五度42D-49A理论拍频值=440×2-293.66×3=880.00- 880.98 =- 0.98

二者调试方向一致，但现实中的拍频明显较快， 使人听觉不适， （有经验的调律师多少都遇到过类似的情况吧？） 需要参照同冠音的（八度、四度）音程进行折衷调试。

将上述大三度音程与五度音程的计算结果对比如下：

频率修正值之间的对比

三个值相对接近但还是存在着差异。由此可以再次证明：通过某个音程而确定的某音的音高频率对于由该音所构成的其他音程而言并不完美。因为钢琴所使用的十二平均律是方便转调的折衷律，因而任一音的音高频率也要尽可能地适配较多的音程。

由于音程宽窄决定和声色彩，因此还可以导出一个重要概念：使用不同的音程进行检验所确定的八度音存在频率差异，使用四、五度检验八度，还是使用大三度检验八度，是由曲子、演奏者或调律者所需要的和声色彩决定的。

分律中的检验音程

从音乐的角度而言，现代分律法中普遍使用四度、五度、三度、六度音程的原因为：主音、属音和下属音是构成一个调式的最主要的三个音；属音和下属音分别与主音构成五度和四度音程；三度是构成和弦的基本音程，六度是三度的转位。

从听觉的角度实用性而言，现代分律法中普遍使用四度、五度、大三度、小三度、大六度作为分律音程。（小六度拍频较快，一般无法作为拍频参照音程使用。）在这些音程之间，拍频存在如下几组规律：

1. 围绕五度音程的一组拍频规律：小三度的根音与其冠音上方大三度构成五度音程，其中小三度拍频快于大三度；

2. 围绕四度音程的一组拍频规律：大三度的根音与其冠音上方四度构成同根音的大六度音程，其中大六度拍频快于大三度；

3. 围绕四、五度音程间拍频关系的一组规律：同根音或同冠音的四、五度音程中，四度拍频快于五度。

其中，围绕五度音程的一组拍频规律与围绕四度音程的一组拍频规律又相互交织，在实践中“你中又我”、“我中有你”，使分律结果具有了较高的精度。

为了削减琴弦振动非谐性对分律的影响，现代分律法一般将分律音程确定在一个八度之内，称之为基准音组。目前国际上较普遍的方式是将基准音组设定在 33F-44E （ 45F ） 。这是因为这一区域存在如下特点：

1 、各检验音程拍频适中，人耳易于听辨。

2 、琴弦全部为裸弦，长度适中，琴弦振动的非谐成分影响较小，音高频率接近理论值。